Imagina que participas en un concurso con tres puertas. Detrás de una hay un coche y detrás de las otras dos, una cabra. Escoges una puerta, pero antes de mostrarte su contenido, el presentador abre otra y deja ver una cabra. Después te ofrece cambiar tu elección por la única puerta que continúa cerrada.
La respuesta intuitiva suele ser que da igual: quedan dos puertas y, aparentemente, cada una tiene un 50 % de probabilidades. Sin embargo, cambiar duplica las posibilidades de ganar, que pasan de 1/3 a 2/3.
El problema de Monty Hall (basado en un concurso de TV real presentado por su epónimo presentador), explicado por Charles Wheelan en Naked Statistics, no es solo un acertijo. Es una lección bayesiana sobre cómo debemos actualizar nuestras creencias cuando recibimos nueva información.
Nuestra creencia inicial
Antes de que el presentador intervenga, las tres puertas son indistinguibles. Cada una tiene una probabilidad de 1/3 de ocultar el coche.
Si escogemos la puerta número 1, nuestra situación inicial es la siguiente: esa puerta tiene una probabilidad de 1/3 y las otras dos acumulan conjuntamente los 2/3 restantes. En otras palabras, tenemos el doble de probabilidades de habernos equivocado que de haber acertado.
Esta es nuestra probabilidad previa o prior: la estimación que hacemos antes de observar nueva evidencia.
Monty no abre una puerta al azar
Después de nuestra elección, Monty abre una de las otras puertas y muestra una cabra. La tentación es pensar que las probabilidades se reparten de nuevo entre las dos puertas cerradas.
Pero Monty conoce la ubicación del coche. Nunca abre la puerta elegida por el concursante, nunca muestra el premio y siempre ofrece la posibilidad de cambiar. Por tanto, no elimina una puerta al azar: utiliza información que nosotros no tenemos.
Este detalle es fundamental. Para interpretar una evidencia no basta con observar qué ha ocurrido; también debemos comprender el proceso que la ha producido.
Actualizar las probabilidades
Supongamos que escogemos la puerta 1 y Monty abre la puerta 3. Antes de su intervención existían tres posibilidades igualmente probables:
| Ubicación del coche | Probabilidad inicial | Resultado al cambiar |
|---|---|---|
| Puerta 1 | 1/3 | Perdemos |
| Puerta 2 | 1/3 | Ganamos |
| Puerta 3 | 1/3 | Ganamos |
Si el coche está en nuestra puerta, cambiar nos hace perder. Pero si se encuentra en cualquiera de las otras dos, Monty está obligado a abrir la puerta con la cabra y deja cerrada la que contiene el coche.
Por tanto, cambiar gana siempre que nuestra elección inicial haya sido incorrecta. Como nos equivocamos dos de cada tres veces, la estrategia de cambiar tiene una probabilidad de éxito de 2/3.
La puerta escogida inicialmente conserva su probabilidad de 1/3. Los 2/3 correspondientes al conjunto de puertas no elegidas se concentran en la única que Monty deja cerrada.
¿Y si hubiera cien puertas?
Wheelan amplía el juego para hacer más visible esta lógica. Imaginemos que hay cien puertas: detrás de una hay un coche y detrás de las otras 99 cabras.
Elegimos una puerta al azar. La probabilidad de haber acertado es solo del 1 %, mientras que las otras 99 acumulan conjuntamente el 99 %.
Monty abre entonces 98 de esas puertas y muestra 98 cabras. Al final solo permanecen cerradas nuestra puerta y otra. ¿Mantendríamos una elección hecha al azar con un 1 % de probabilidad o cambiaríamos a la única puerta que Monty ha evitado abrir?
Nuestra puerta sigue teniendo un 1 %. La alternativa concentra el 99 % que correspondía inicialmente al conjunto de puertas no escogidas. Mantener gana una vez de cada cien; cambiar, las otras 99.
La evidencia depende de cómo se genera
El error intuitivo consiste en pensar que, cuando desaparecen algunas opciones, su probabilidad se reparte por igual entre las que quedan. Eso solo sería razonable si las opciones hubieran sido eliminadas mediante un procedimiento aleatorio que no aportara información.
Monty, en cambio, elimina puertas utilizando su conocimiento sobre el premio. La puerta que deja cerrada no es una superviviente cualquiera: es la única que puede contener el coche dentro del conjunto que no habíamos elegido.
Esta es una idea esencial del razonamiento bayesiano. La misma observación puede justificar conclusiones diferentes según el mecanismo que la haya producido. Si Monty desconociera dónde está el coche y abriera una puerta al azar, la información tendría un significado distinto.
Una lección para interpretar predicciones
Algo parecido sucede cuando evaluamos estudios, modelos y predicciones. Imaginemos que un analista prueba cien indicadores económicos y, después de conocer el resultado, nos enseña únicamente el que acertó.
Ese acierto no aporta la misma evidencia que si el indicador se hubiera escogido previamente. El resultado ha sido seleccionado entre muchas alternativas, del mismo modo que Monty decide qué puertas puede enseñarnos.
Cuando recibimos una predicción aparentemente exitosa, no deberíamos preguntarnos solo si acertó. También conviene saber cuántas predicciones se hicieron, cuáles no se muestran y qué reglas determinaron que observáramos precisamente ese resultado.
Cambiar de opinión puede ser racional
Nuestra elección inicial en Monty Hall no era absurda. Se tomó correctamente con la información disponible: escogimos una puerta entre tres opciones idénticas.
Lo irracional sería mantener exactamente la misma confianza después de recibir información relevante. Desde una perspectiva bayesiana, las creencias son estimaciones provisionales que deben revisarse cuando cambia la evidencia.
Cambiar de opinión no implica necesariamente que la primera decisión fuera incorrecta. Puede significar, sencillamente, que hemos aprendido algo nuevo y hemos ajustado nuestra posición en consecuencia.
Conclusión
El problema de Monty Hall parece hablar de coches, cabras y puertas, pero en realidad trata sobre cómo aprendemos. Partimos de unas probabilidades iniciales, observamos nueva evidencia y revisamos nuestras creencias teniendo en cuenta cómo se ha generado.
Las dos puertas que permanecen cerradas no son equivalentes. Una fue escogida al azar por alguien sin información; la otra fue conservada por alguien que conocía dónde estaba el premio. Su aspecto es idéntico, pero su historia es distinta.
La lección bayesiana es clara: no basta con incorporar información nueva. Para actualizar correctamente nuestras creencias debemos comprender el mecanismo que la ha producido. A veces, cambiar de puerta —y también de opinión— es la consecuencia racional de haber aprendido algo.
The Bayesian Fox 