¿Cómo puede una encuesta realizada a poco más de mil personas decirnos lo que piensa todo un país? La respuesta se encuentra, en buena medida, en el teorema central del límite, una de las ideas fundamentales de la estadística.
Este teorema permite utilizar muestras relativamente pequeñas para realizar estimaciones sobre poblaciones mucho mayores. Sin embargo, su poder suele interpretarse de forma demasiado optimista: reunir muchos datos no garantiza que las conclusiones sean fiables.
En Naked Statistics, Charles Wheelan insiste en una condición esencial: la muestra debe haber sido obtenida adecuadamente. Aumentar su tamaño reduce los errores causados por el azar, pero no corrige una selección sesgada.
Qué nos permite hacer el teorema central del límite
Imaginemos que extraemos repetidamente muestras aleatorias de una población y calculamos la media de cada una. Aunque los datos originales tengan una distribución irregular, las medias muestrales tenderán a concentrarse alrededor de la verdadera media de la población.
Además, cuanto mayor sea la muestra, menor será su variabilidad. Una muestra de diez personas puede alejarse bastante de la población por casualidad; una de mil tiene muchas menos probabilidades de hacerlo.
Esta regularidad permite estimar características de millones de personas observando solo a una pequeña parte. Pero funciona bien únicamente si esa parte ha sido seleccionada de manera razonablemente representativa.
Para entender mejor este proceso, puedes consultar la infografía que se acompaña aquí.
El autobús de los corredores
Wheelan lo explica mediante una historia deliberadamente extravagante. En una ciudad se celebran al mismo tiempo un maratón y un festival de la salchicha. Los asistentes son transportados en autobuses y uno de los vehículos que lleva a los corredores desaparece.
Más tarde aparece un autobús averiado. No sabemos de qué evento procede, pero podemos pesar a sus pasajeros. Una persona corpulenta no demostraría nada: también puede haber corredores con un peso elevado. Sin embargo, si el promedio de todos los pasajeros resulta muy superior al esperado entre los participantes del maratón, sería más razonable pensar que venían del festival.
El teorema central del límite permite valorar hasta qué punto una media observada resulta compatible con una población determinada. Cuanto mayor sea la muestra, más difícil será atribuir una diferencia muy grande al simple azar.
Error aleatorio y sesgo
El ejemplo presupone que los pasajeros forman una muestra razonable de alguno de los dos grupos. Si alguien hubiese seleccionado deliberadamente a los corredores más pesados, la media del autobús ya no representaría al conjunto del maratón.
El teorema central del límite ayuda a controlar el error aleatorio: las desviaciones fortuitas que aparecen porque una muestra incluye casualmente más personas altas, más votantes de un partido o más viviendas caras. Estas diferencias tienden a reducirse cuando aumenta el tamaño de la muestra.
Pero no elimina el sesgo sistemático. Si el procedimiento de selección favorece siempre a ciertos grupos y excluye a otros, añadir observaciones no corrige el problema. Solo consigue medir con mayor precisión una población mal escogida.
Millones de respuestas y una predicción equivocada
Wheelan recuerda el famoso sondeo de la revista Literary Digest antes de las elecciones presidenciales estadounidenses de 1936. La revista envió unos diez millones de cuestionarios y recibió más de dos millones de respuestas. A pesar de contar con una muestra gigantesca, predijo la victoria del republicano Alf Landon.
Franklin D. Roosevelt ganó finalmente por una amplia mayoría. El problema no fue la falta de datos, sino su procedencia. La muestra se apoyaba en grupos relativamente acomodados —como suscriptores de la revista, propietarios de automóviles o personas con teléfono— y quienes decidieron responder tampoco tenían por qué representar a quienes no lo hicieron.
El enorme tamaño redujo el error aleatorio, pero no corrigió los sesgos de selección y de no respuesta. El sondeo obtuvo una estimación muy precisa de lo que pensaba un grupo que no representaba adecuadamente al electorado.
Cómo mil personas pueden representar a millones
Una encuesta bien diseñada con unas 1.200 personas puede ofrecer mejores resultados que otra con millones. La clave está en que los distintos grupos de la población tengan una probabilidad adecuada de aparecer en la muestra.
Cuando la selección es representativa, podemos estimar cuánto se alejará probablemente el resultado muestral del verdadero valor de la población por simple azar. De ahí procede el margen de error que acompaña a las encuestas.
Aumentar la muestra estrecha ese margen, pero con rendimientos decrecientes: para reducirlo aproximadamente a la mitad hay que cuadruplicar el número de observaciones. Por eso, una vez alcanzado un tamaño razonable, mejorar la selección suele ser más importante que seguir acumulando respuestas.
Lo que el margen de error no nos dice
Un margen de error de tres puntos se refiere principalmente a la incertidumbre producida por haber entrevistado a una muestra en lugar de a toda la población.
No incluye necesariamente otros problemas: personas que no responden, grupos que quedan excluidos, preguntas formuladas de manera tendenciosa o participantes que no dicen la verdad.
Por eso, una encuesta con un margen de error pequeño no tiene por qué ser una buena encuesta. Puede medir con mucha precisión una realidad mal definida o poco representativa.
Una aplicación a la predicción
Supongamos que queremos predecir la duración media de las bajas laborales utilizando miles de registros históricos. Tener muchos casos reducirá la variabilidad aleatoria, pero no garantiza que los datos representen correctamente las bajas futuras.
Si la base contiene únicamente episodios ya cerrados, puede excluir precisamente las bajas más largas que aún siguen abiertas. El modelo podría producir una estimación estable y aparentemente precisa, pero construida sobre una muestra sesgada.
Ningún algoritmo ni teorema estadístico puede recuperar automáticamente los casos que nunca entraron en los datos. Antes de preguntar cuántas observaciones tenemos, debemos preguntarnos de dónde proceden, quiénes han quedado fuera y si la muestra representa el fenómeno que queremos predecir.
Conclusión
El teorema central del límite explica por qué no necesitamos estudiar a toda una población para aprender sobre ella. Una muestra suficientemente grande y bien seleccionada puede proporcionar estimaciones sorprendentemente fiables.
Pero el teorema reduce el ruido producido por el azar; no corrige los errores introducidos por la forma de recoger la información. Una muestra pequeña y representativa puede contener incertidumbre, pero apunta hacia el objetivo correcto. Una muestra enorme y sesgada puede equivocarse con mucha precisión.
La lección de Naked Statistics es clara: más datos solo ofrecen mejores respuestas cuando representan adecuadamente la realidad que queremos conocer.
The Bayesian Fox 
